Построителни задачи

Построителни задачи са решавани от древността. Едни от известните са тези на Евклид, Талес, Аполоний и др.

Основните чертожни инструменти при класическите построителните задачи са:

а) неразграфена линия имаща само една страна и безкрайна дължина и

б) пергел с възможност с безкрайно голямо/малко рамо .

Съществуват и други задачи: само с линия и прав ъгъл, задачи за сгъване и др.под.

Доста често една построителна задача има многовариантно решение. Пример: построяване на правоъгълен триъгълник по дължини на катет и хипотенуза. Етапите, през които преминава решението на всяка такава задача са: анализ, доказателство, построение и изследване.

Част от основните типове построителни задачи са:

• построяване на отсечка с дължина сумата/разликата на две други отсечки;
• построяване на симетрала на дадена отсечка;
• построяване на перпендикуляр от точка към права;
• построяване на ъглополовяща на даден ъгъл;
• построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл;
• построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка и др..

Част от основните твърдения в различните построителни задачи са:

• ако могат да се построят две точки A и B, то може да се построи права през AB;
• ако могат да се построят две точки A и O, то може да се построи окръжност с център O и радиус OA;
• ако могат да се построят две пресичащи се прави m и n, то може да се построи и тяхната пресечна точка;
• ако могат да се построят права p и окръжност k, имащи обща точка, то всяка тяхна обща точка може да бъде построена;
• ако могат да се построят две окръжности, имащи обща точка, то всяка тяхна обща точка може да бъде построена;
• ако може да се построи права и точка, лежаща на нея, то може да се построи перпендикулярна права към началната права, минаваща през същата точка;
• ако може да се построи права и точка, нележаща на нея, то може да се построи през същата точка перпендикулярна права към началната права;
• ако може да се построи права и точка, нележаща на нея, то може да се построи през същата точка успоредна права на началната права.

Някои построителни зздачи са доказано нерешими. Пример построяване на вписана окръжност в изпъкнал n-ъгълник (n>3). В успоредник може да се впише окръжност, само ако той е с равни страни. Друг пример: построяване на окръжност допираща се едновременно до три успоредни прави. Има клас задачи, които са изчислими, т.е. може да се изчислят мерките на дадена фигура, но не може същата фигура да бъде построена. Пример за такава задача е построяване на триъгълник по дължини на трите ъглополовящи.

Класическите нерешими построителни задачи с неразграфена линия и пергел са:

1. Построяване на квадрат с лице равно на лицето на дадена окръжност - squaring the circle.Сходни с тази задача са и задачите за: построяване на сегмент от кръг с лице естествено число; построяване на сектор от кръг с лице естествено число; построяване на  дъга от окръжност с дължина естествено число
2. Построяване на куб с обем два пъти по голям от обема на даден куб - doubling the cube.
3. Трисекция - разделяне ъгъл на три равни ъгъла - trisection of an angle.

За правилното построяване са необходими задълбочени познания за зависимости между отделните елементи в триъгълник, успоредник, трапец и т.н.

Примерна задача: да се построи отсечка с дължина b*√n, където n е естествено число, а b е дадена отсечка. Решението се свежда до познаване теоремата на Питагор. Последователно се построяват ред правоъгълни триъгълници, всеки от които има катет с дължина b. Първият построен правоъгълен триъгълник е равнобедрен. Два последователни триъгълника имат обща страна като хипотенузата на предходния се явява катет за следващия.

Задълбочените теоретични познания улесняват решаването на построителните задачи. Пример: в триъгълника трите симетрали имат една единствена пресечна точка и тя е център на описаната около триъгълника окръжност. Построяването на кои да и две симерали е достатъчно за определяне центъра на търсената описана окръжност.

Друг пример – построяване на симетрала на дадена отсечка. Използва се свойство на височина към основа на равнобедрен триъгълник.

Теоремите на Талес заемат особено място при построителните задачи – подобни триъгълници, вписан правоъгълен триъгълник, четвърта пропорционална отсечка и др.

Един от често използваните методи при построителните задачи са ГМТ, симетрия - осева и централна, метод на успоредна транслация, метод на ротация, метод на инверсия, както и методът на подобностите – ако част от решението на задачата е построяване на фигура, подобна на дадена, то окончателното решение или част от него се свежда до построяване на подобна фигура с определен коефициент на подобност.

Практическото приложение на построителните задачи е повсеместно в бита ни – архитектура, стоителство, машинни специалности и др.. Само един пример от автомобилостроенето - редукция на скорост и момент и особено неговия по-сложен вариант в товароподемната техника - планетарен редуктор.