подобни триъгълници - средна отсечка

В триъгълника ABC са построени трите средни отсечки EF||AB, DE||AC, DF||BC.

Да се докаже, че формираните 4 триъгълника са подобни на триъгълника ABC.

Решение (свободен достъп)

подобни триъгълници - отношение между лица

През правоъгълния триъгълник ABC (AB - хипотенуза) е изчертана права p (p||BC), като триъгълникът отсича от правата отсечка MN. Дадени са дължините на MN, BC,AM - т.M лежи на катета AC.

Да се изчисли отношението между лицата и периметрите на подобните триъгълници ABC и ANM, както и периметъра и лицето на всеки от триъгълниците.

Решение

подобни триъгълници - медиани, пресечна точка

В триъгълника ABC са построени медианите AK, BL, CM с пресечна точка N.

Средите на отсечките AN, BN,CN са отбелязaни съответно с точките D,E,F.

Да се докаже че триъгълниците ABC, KLM и DEF са подобни.

Решение

подобни триъгълници - ъглополовяща, лица

За триъгълника ABC са въведени дължини на страните AB=c и BC=a. Построена е ъглополовяща BL с дължина lb. От точка L е построена права LM||BC. Да се изчислят лицата на триъгълниците ABC и ALM

Решение

подобни триъгълници - основи на трапец

В трапец ABCD (AB||CD) двата му диагонала се пресичат в точка O. Въведени са дължини на следните отсечки AC=50, OC=20, както и дължина на основата AB=60. Да се докаже, че триъгълниците ABO и CDO са подобни и се изчисли дължина на CD - другата основа.

Решение

подобни триъгълници - лица и медиани

За триъгълника ABC са въведени дължините на страните му a,b,c. Построени са две негови медиани AK и BN, с обща пресечна точка M. Да се докаже, че триъгълниците ABC и NKC са подобни и се изчислят лицата на триъгълниците ABC и NKM.

Решение

подобни триъгълници - коефициент на подобие, височини

За разностранния триъгълник ABC са въведени дължини на трите му страни a, b и c. Построени са височините AH, BG. Да се докаже, че ABC и GHC са подобни триъгълници, да се изчисли техния коефициент на подобие и лицето на триъгълника GHC.

Решение

подобни триъгълници - основи и бедро на трапец

За трапец ABCD (AB||CD) са дадени дължини на основи AB=a, CD=c и бедро AD=d. С колко трябва да се продължи бедрото AD за да пресече продължението на BC.

Указание: ако т.E е пресечната точка на продължението на двете бедра докажете, че ABE и CDE са подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - вписан трапец

В разностранен триъгълник ABC е вписан трапец ABDE (AB||DE). По въведени дължини на страните в трапеца AB=a, DE=c, AE=d и височина CG= he в триъгълника DEC да се изчисли дължина на страната AC и лице на триъгълника ABC.

Указание: докажете, че ABC и EDC са подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - основа, срещулежащ ъгъл и две ъглополовящи

За равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) са въведени основа AB=c, срещулежащ ъгъл ACB=γ. Построени са две ъглополовящи AK към страната BC и BL към страната AC. Да се изчисли дължина на отсечката KL. Указание: използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - дължини на страни и ъглополовяща

В разностранен триъгълник ABC е построена ъглополовяща CL. През т.L е построена успоредна отсечка LM||AC. По въведени дължини на двете страни AC=8, BC=12 да се изчисли дължина на отсечката LM. Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - окръжност, страна, отношение и ъгли

Дадени са триъгълник ABC, пресечен от окръжност - страната AB е хорда в окръжността. Окръжността пресича страната AC в точка D, а страната BC в т.E като я дели в отношение BE:CE=m/n. За триъгълника са въведени AB=c, ъгъл BAC=α и ъгъл ABC=β. Да се докаже, че ABC и DEC са подобни триъгълници и се изчисли лицето на DEC.

Решение

подобни триъгълници - успоредник, периметър и ъгъл

За успоредник ABCD са въведени периметър P и дължини на височините DH=ha - към AB и BG=hb към AD. Да се изчисли стойност на синус от острия ъгъл BAD. Използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредник, отношение между височини

За успоредник ABCD са въведени периметър P и отношение между дължини на височините DH/BG=m/n. Височините са означени: DH към AB и BG към AD. Да се изчислят дължините на страните. Използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредник, пресечна точка на височини и ъгъл

В успоредник ABCD са построени височини BH и MN, като т.M лежи на CD, т.N лежи на AB, а пресечна точка на BH и MN е т.G. Точка M е избрана, такава че около четириъгълника HGMD може да се опише окръжност. Въведени са дължини на: диагонала BD=f,отсечките MG=m, NG=n, както и острия ъгъл между височините BGN=α. Да се изчисли лице и периметър на успоредник. Използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредник, дължини на страни и продължение

Даден е успоредник ABCD (AB||CD, AD||BC). На продължениeтo на страната AB е взета т.E. През нея е построена права p успоредна на BD. Продължението на страната AD пресича правата p в т.F. По въведени дължини на отсечки AB=a, BC=b, BE=d да се изчисли дължината на DF. Използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - трапец,средна отсечка, вписани окръжности

В трапец ABCD (AB||CD) са построени двата му диагонала AC, BD с пресечна точка K. В двата образувани триъгълници ABK, CDK, всеки със страна основа на трапеца, са вписани окръжности. По въведени: дължина на средната отсечка MN=k и отношение между радиусите на вписаните окръжности R/r=m/n да се изчисли дължината на двете основи AB и CD. Използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредна права, равни лица

В разностранен триъгълник ABC е пресечен от права, като страните отсичат отсечка MN успоредна на основата - MN||AB. Правата дели началния триъгълник на трапец и триъгълник с равни лица. По въведена дължина на страната AB=c изчислете отсечката MN.

Решение

подобни триъгълници - лице на два триъгълника, отсечка, периметър

В остроъгълен разностранен триъгълник са построени височините AH и BG. Дадени са: дължина на отсечка GH=m - свързваща петите на височините, срещулежащия ъгъл GCH=γ и лице на два триъгълника Sabc и Sghc. Да се изчисли периметър на триъгълника ABC. Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - пети на височини и ъгъл

В остроъгълен триъгълник ABC са построени височините AH и BG. Въведени са стойности за ъгли BAC=α и ABC=β и дължина на страната AC=b. Да се изчисли ъгъл GHC и дължина на GH - между петите на двете височини. Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - пресечна точка, височини и ъгли

В разностранния триъгълник ABC са построени височините AD към BC и BE към AC с пресечна точка H. По въведени стойности за ъглите ъглите BAC=α и AHB=φ да се изчислят ъглите ACB и EDC. Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - две страни, ъгъл, пресечна точка

В остроъгълния триъгълник ABC са построени височините AD и BE с пресечна точка E. По въведени стойности за две от страните: AC=b, BC=a и ъгъл ACB=γ да се изчисли лице на триъгълника GHC. Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредна права, пресечна точка

В разностранен триъгълник ABC са построени трите медиани AD,BE,.CF. През тяхната обща пресечната точка M е построена права успоредна на страната AB. Страните AC. BC отсичат от правата отсечка KN. Да се изчисли лице на триъгълника KNC по въведени дължини на страните AB=c, BC=a, AC=b.

Указание: докажете съществуването на подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - успоредни прави, лица

В правоъгълния триъгълник ABC (AB - хипотенуза) е избрана т.D, вътрешна за триъгълника. През точката са построени 3 прави, всяка от тях успоредна на страна от триъгълника EF||AB; IJ||BC, KM|| AC. Да се представи лицето на триъгълника ABC, чрез лица на подобните триъгълници VFM, VKI, VEJ.

Решение

подобни триъгълници - пресечна точка, диагонали

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Да се докаже, че в него съществуват две двойки подобни триъгълници ABE, CDE; BCE, DAE с общ връх пресечната точка т.E на диагоналите му и страни - страните на четириъгълника и частите на диагоналите.

Решение

подобни триъгълници - дължини на медиани към катети

В правоъгълния триъгълник ABC (AB - хипотенуза) са построени две медиани към катетите, съответно с дължини AM=ma, BN=mb. Да се докаже, че триъгълниците ABC и MNC са подобни и се изчисли лицето на триъгълника MNC.

Решение

подобни триъгълници - две страни и медиана към третата

За разностранен триъгълник ABC са въведени дължини на две страни AC=b, BC=a, както и дължина на медианата към третата страна CE=mc. Построени са медианите AF към BC и BG към AC. Да се изчисли дължина на отсечката FG. Указание: използвайте подобни триъгълници.

Решение

подобни триъгълници - сума от дължини на ъглополовящи

Триъгълниците ABC и DEF са подобни с коефициент на подобие k. Дадена е сумата от две съответни ъглополовящи CM+FN=m. Да се изчислят дължините на ъглополовящите CM и FN.

Решение

подобни триъгълници - отношение между две съответни височини

За два подобни триъгълници ABC и DEF са въведени разлика от дължини на медиани CM-FN=m и отношението между две съответни височини CH/FG=k. Да се изчислят дължините на медианите.

Решение

подобни триъгълници - дължини на страни и остър ъгъл

Да се докаже, че ако триъгълниците ABC (страни AB=c, BC=a, AC=b) и DEF (страни DE=f, EF=e, DF=f) имат съответен остър ъгъл 60° и са подобни триъгълници, то са верни равенствата: за триъгълника ABC: b/(a+c) +c/(a+b)=1, за триъгълника DEF: e/(d+f)=(d+e-f)/(d+e). Да се докажат двете равенства.

Решение

подобни триъгълници - разстояние на медицентър до височина

За остроъгълен разностранен триъгълник ABC са въведени: дължина на страната AB=c, височината CH=hc и разстоянието MG=m на медицентъра т.M до височина CH. Да се изчисли периметър и лице на триъгълника ABC. Указание използвайте подобни триъгълници.

Решение