Задачи по геометрия

Равнобедрен трапец с въведени дължини на височини към едното бедро

Имаме равнобедрен трапец ABCD с въведени дължини на височини към едното бедро BM и CN, както и размер на острия ъгъл при основата на трапеца BAD. Търсим периметър P и лице S на този трапец.

Решение (свободен достъп)

Равнобедрен трапец - три височини

Имаме равнобедрен трапец с основи AB>CD, за който са въведени дължини на височини към бедрото AD, съответно BM, CN, както и височина към основата DH. Търсим периметър на този трапец.

Решение

Две допирателни - пресечна точка

Имаме окръжност с въведени данни за център O(x,y) и радиус R, както и две точки т.A(x,y) и т.B(x,y).

Точките не принадлежат на окръжността, центърът O не лежи на AB, но проекцията му е между точки A и B. Отсечката AB пресича окръжността.

От двете точки са прекарани допирателни към окръжността, пресичащи се в т.Q - ADQ и BCQ.

Търсим сумата на двете отсечки AQ+QB.

Решение

Височина на трапец

Имаме трапец ABCD (AB|| CD, AB>CD) с лице Sabcd=22. Въведена е и дължина на голямата основа  AB=20, малката основа и височината на трапеца са равни DH=CD. Търсим височина на трапеца DH=?

Решение

Периметър и лице на успоредник по въведени височини и остър ъгъл

Имаме успоредник ABCD с въведени дължини на височини към две съседни страни BM и DN, както и размер на острия ъгъл при основата на успоредника BAD. Търсим периметър P и лице S на този успоредник.

Решение

Периметър на успоредник по въведени височини и лице

Имаме успоредник ABCD с въведени дължини на височини към две съседни страни BM и DN (BM>DN), както и S лицето на успоредника.

Търсим периметър P и стойността на тангенс от острия ъгъл на този успоредник.

Решение

Височини на успоредник по въведени периметър, лице и остър ъгъл

Имаме успоредник ABCD с въведени P - периметър, S – лице и yg – остър ъгъл. Търсим двете височини ha, hb в този успоредник.

Решение

Периметър на успоредник в равнобедрен триъгълник по въведедена дължина на бедро

Имаме равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC)с дължина на бедро m. От произволна точка Q, лежаща на основата AB са прекрани отсечки успоредни на бедрата QM || BC и QN|| BC. Търси се периметър на успоредника QNCM.

Решение

Лице на успоредник в равнобедрен триъгълник по въведедена дължина на бедро и височина

Имаме остроъгълен равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) с дължина на бедро b и височина към бедрото BH=h. Точка Q, лежаща на основата AB, я дели на отсечки AQ=m и BQ=n.

От точка Q са прекaрани отсечки успоредни на бедрата QM || BC и QN|| BC.

Търси се лице на успоредника QNCM.

Решение

Правоъгълен триъгълник - катети

Имаме правоъгълен триъгълник ABC, за който са дадени: дължина на катет AC и отношението между хипотенузата AB и другия катет AB=2*BC. Да се изчисли лице и периметър на правоъгълния триъгълник.

Решение

Правоъгълен триъгълник – лице и отношение между катети

Имаме правоъгълен триъгълник (∢C=90º ) с лице Sacb=336. Катетите са в отношение BC:AC=7:24.

Височината към хипотенузата AB образува два нови триъгълника AHC и BHC.

Търсим периметри и лица на новите триъгълници.

Решение

Триъгълник – средни отсечки

Имаме триъгълник ABC, в който са изчертани средните му отсечки. По въведена сума от периметрите на триъгълниците P = Padf + Pdbe +Pecf + Pedf  да се изчисли Pacb.

Посочете броя двойки подобни триъгълници.

Решение

Равнобедрен триъгълник - периметър по дължина на основа и височина

За равнобедрен триъгълник ABC са въведени дължина на основа AB и височина CH към нея. Търсим P - периметър на триъгълника.

Решение

Равнобедрен триъгълник - лице по основа и бедро

За равнобедрен триъгълник ABC са въведени дължина на основа AB и бедро AC. Намерете лицето на триъгълника.

Решение

Равнобедрен триъгълник - периметър на успоредник

Имаме равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) с въведена дължина на бедрото b.

На основата AB е отбелязана произволна точка M. През т.М са прекарани успоредни на бедрата прави, така че MN || BC и MK || AC.

Търсим периметър на успоредника MKCN

Решение

Трапец – основа и лице

Имаме трапец с дължина на едната основа a = 8 см и лице S = 70 см².

Ако се намали само дължината на другата основа b с 2 то лицето на новия трапец се намалява с 10 см².

Търси се дължината на основа b и височината h на трапеца.

Решение

Лице и периметър на равнобедрен трапец

Имаме равнобедрен трапец ABCD (AB||CD, AB>CD), за който са въведени дължини на височина CH и диагонал AD.

Въведена е също и разлика между дължините на основите m= AB-CD.

Търсим лице S и периметър P на трапеца.

Решение

Равнобедрен трапец и вписана окръжност

Имаме равнобедрен трапец ABCD с въведени дължини на основите AB и CD. В трапеца е вписана окръжност с център O.

Търсим лице на триъгълниците OAB, OBC, OCD и OAD.

Условието в трапец да се впише окръжност е: сумата от дължините на двете основи да е равна на сумата от дължините на двете бедра AB+CD=BC+AD.

Решение

Трапец - средна основа

Имаме трапец ABCD (AB||CD), в който е изчертана средната основа MN.

Диагоналите на трапеца AC, BD разделят MN на три части.

Изчислете дължините на отсечките ME, EF, FN, по въведени дължини на основите AB и CD.

Решение

Трапец - диагонали

Имаме трапец ABCD (AB||CD), в който е изчертана средната основа MN.

Диагоналите на трапеца AC, BD разделят MN на три части ME,EF, FN.

Изчислете периметъра на вписания трапец ABFE, по въведени дължини на основите AB и CD и диагоналите AC, BD.

Решение

Правоъгълник – диагонал и отношение между ъгли

За правоъгълника ABCD (AB||CD) са въведени дължина на диагонал AC=5, както и отношението между ъглите ∢BAC: ∢ CAD = 2:4.

Търсим лице и периметър на правоъгълника.

Решение

Вписан правоъгълник

В правоъгълник с размери 24х20 сm е вписан друг правоъгълник с лице 96 сm². Разстоянието между всяка успоредна страна на двата вписани правоъгълника е еднакво.

Да се изчисли разстоянието d между страните на двата правоъгълника, както и периметъра на вписания правоъгълник.

Решение

Вписани правоъгълници - дължина на диагонал

В правоъгълник ABCD е прекарана отсечка MN || BC, така че се получават два нови правоъгълника. Въведени са лицата на правоъгълниците Samnd и Sbmnc, както и дължината на отсечка MN. Търсим дължината на диагонала AC=?

Решение

Вписан квадрат - обиколка на окръжност

Около квадрат с периметър P е описана окръжност. Търсим обиколката на тази окръжност.

Решение

Триъгълник - отношения между страни

За триъгълник са въведени: периметър P=60, както и следните отношения между страните:

b / (c+a) = 1/2

a / (c+b) = 11/19

Търсим страните a.b,c на триъгълника.

Решение

Окръжност и вписан трапец

Имаме окръжност k(O,R). В окръжността е вписан трапец ABCD (AB|| CD, AB>CD). Да се докаже, че разстоянията от центъра на окръжността до бедрата на трапеца са равни.

Решение

Секуща на две концентрични окръжности

Имаме две концентрични окръжности K1(O,R) и K2(O,r), където R>r. От точка, външна за окръжността K1 е прекарана права, която последователно пресича двете окръжности в точки A,B,C,D. Докажете равенството AB=CD

Решение

Хорди в две концентрични окръжности

Дадени са две концентрични окръжности к1(O;R) и k2(O;r), където R>r).

Да се докаже, че всички хорди в k1, които са едновременно и допирателни на k2 имат равни дължини.

Решение

Концентрични окръжности - две успоредни секущи

Имаме две концентрични окръжности K1(O,R) и K2(O,r), където R>r.

Към окръжностите се прекарани две успоредни секущи, като всяка от тях е на разстояние h от центъра O, където r>h.

Центърът лежи между двете прави. Първата права пресича K1 в точки A и B. Втората права пресича K2 в точки C и D.

По въведени R,r,h изчислете лице S и периметър P на трапеца ABCD.

Решение

Куб, вписан в кълбо - обем и повърхнина

В кълбо е вписан куб. Да се изчислят обемът на кълбото и лицето на сферата по въведена стойност за пълната повърхнина на куба Sk.

Решение