Задачи по алгебра

Брой отсечки

Имаме естествено число N>2.
Върху абсцисната ос са разположени N точки, като разстоянието между всеки две съседни точки е равно.
Да се намери броя на отсечките, чиито краища и среда са точки измежду дадените.

Решение

Първата и последната точки не могат да бъдат среди на отсечка.
Втората и предпоследната точки могат да бъдат среди само на една отсечка.
Броят отсечки ще се изчислява по различен начин в зависимост от това дали N е четно или не.
Делим целочислено N.
Ако N е нечетно го представяме като N=2*n+1
Ако N е четно го представяме като N=2*n
Примери за брой различни отсечки:
N е нечетно1+2+3+..+n-1 + n + n-1 +..+3+2+1=2*(1+2+3+..+n-1) +n = (n-1)*n +n = n*n
N е четно 1 + 2 + 3 + .. + (n - 1) + (n - 1) + .. + 3 + 2 + 1 = n*(n - 1)
а) 6 точки: отсечките са 1-3, 1-5, 2-4, 2-6, 3-5, 4-6 6 бр.
б) 5 точки: отсечките са 1-3,1-5, 2-4,3-5 - 4 бр.
в) 7 точки: 1-3,1-5,1-7,2-4,2-6,3-5,3-7,4-6,5-7 - 9 бр.
г) 10 точки: 1-3, 1-5,1-7,1-9,2-4,2-6,2-8,2-10,3-5,3-7,3-9,4-6,4-8,4-10,5-7,5-9,6-8,6-10,7-9,8-10 - 20 бр.